Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы

Пусть A невырожденная n×n матрица. Тогда для нее существует матрица A-1 такая, что

AA-1=A-1A=E,

где E - единичная матрица.

A-1 называется обратной к матрице A.

Нахождение обратной матрицы

Пусть задана матрица A порядка n×n и пусть ранг матрицы A :

rank A=n.

Из определения обратной матрицы имеем:

A-1A=E

или

AA-1=E,
(1)

где Eединичная матрица, A-1 − обратная к матрице A.

Для нахождения обратной матрицы A-1, перепишем матричное уравнение (1) в виде

  • Ax1=e1,
  • Ax2=e2,
  • ....
  • Axn=en,
(2)

где xii-ый вектор столбец матрицы A-1, которую нужно найти, eii-ый вектор столбец единичной матрицы.

Таким образом для нахождения обратной матрицы A-1 нужно вычислить векторы столбцы xi для n систем линейных уравнений (2).

Рассмотрим первую систему линейных уравнений:

Ax1=e1.
(3)

Для решения системы линейных уравнений (3) относительно x1 воспользуемся методом исключения Гаусса.

Аналогичным образом решаются остальные системы линейных уравнений (2).

Наконец группа векторов столбцов x1, x2, ..., xn образует обратную матрицу A-1.

Заметим, что один раз находя матрицы перестановок P1,P2, ... , Pn-1 и матрицы исключений М1, М2, ..., Mn-1 (см. страницу Метод исключения Гаусса) и построив матрицу

M=Mn-1Pn-1...M2P2M1P1,

систему (2) можно преобразовать к виду

  • MAx1=Me1,
  • MAx2=Me2,
  • ......
  • MAxn=Men.

Отсюда находятся x1,x2, ..., xn, при разных правых частях Me1, Me2, ..., Men.

При вычислении обратной матрицы более удобно с правой стороны исходной матрицы добавить единичную матрицу и применять метод Гаусса в прямом и обратном направлениях.

Рассмотрим это на примере.

Пример вычисления обратной матрицы

Пусть требуется найти обратную матрицу A-1 для данной матрицы A:

Запишем с правой стороны единичную матрицу:

Выбираем ведущий элемент "4" (т.к. он самый большой по модулю) и переставляем местами первую и третью строки:

Применяем Гауссово исключение для первого столбца:

Переставляем вторую и третью строки и применяем Гауссово исключение для второго столбца:

Третью строку делим на -9/7:

Далее применяем Гауссово исключение в обратном порядке, т.е. третью строку оставляем без изменения, вторую строку суммируем с третьим умноженным на 3/2, первую суммируем с третьим умноженным на -2:

Вторую строку делим на -7/4:

Суммируем первую и вторую строки:

Делим первую строку на "4":

Таким образом, правая часть полученной матрицы и есть искомая обратная к матрице A:

Онлайн нахождение обратной матрицы

Для нахождения обратной матрицы используйте матричный онлайн калькулятор . Для подробного решения используйте калькулятор для вычиления обратной матрицы.