Эквивалентные матрицы

РЕКЛАМА

Пусть R и S два векторных пространства размерности n и m соответственно над числовым полем K, и пусть A линейный оператор отображающий R в S . Выясним, как меняется матрица оператора A при изменении базисов в пространствах R в S.

Выберем произвольные базисы в пространствах R в S и обозначим через и соответственно. Тогда (см. в линейные операторы) векторному равенству

y=Ax. (1)

соответствует матричное равенство

y=Ax. (2)

где х и у векторы x и y, представленные в виде координатных столбцов в базисах и соответственно.

Выберем теперь в пространствах R и S другие базисы и. В новых базисах векторному равенству (1) будет соответствовать матричное равенство

y'=A'x'. (3)

Обозначим через Q и P невырожденные квадратные матрицы порядков n и m соответственно, которые осуществляют преобразование координат в пространствах R и S при переходе от старых базисов к новым (см. линейное пространство). Тогда связь между векторами в старых и новых базисах можно представить следующими равенствами:

x'=Qx,  y'=Py. (4)

Тогда, учитывая (3) и (4), имеем

y'=Py=PAx=PAQ-1x'. (5)

Обозначив T=Q−1, и учитывая (3) и (5) получим:

A'=PAT. (6)

Определение 1. Две прямоугольные матрицы A и B одинаковых размеров называются эквивалентными, если существуют две квадратные невырожденные матрицы P и T такие, что выполнено равенство

B=PAT. (7)

Отметим, что если A -матрица порядка m×n, то P и T квадратные матрицы порядков m и n, соответственно.

Из (6) следует, что две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному оператору A при различном выборе базисов в пространствах R и S эквивалентны между собой. Верно и обратное утверждение. Если матрица A соответствует оператору A, а матрица B эквивалентна матрице A, то она соответствует этому же линейному оператору A при других базисах в R и S.

Выясним, при каких условиях две матрицы эквивалентны.

Теорема. Для того, чтобы две матрицы одинаковых размеров были эквивалентны между собой, необходимо и достаточно, чтобы они имели один и тот же ранг.

Доказательство. Необходимость. Так как умножение матрицы на квадратную невырожденную матрицу не может изменить ранг матрицы, то из (7) имеем:

rang B=rang A.

Достаточность. Пусть задан линейный оператор A, отображающий пространство R в S и пусть этому оператору отвечает матрица A размера m×n в базисах в R и в S, соответственно. Обозначим через r число линейно независимых векторов из числа Ae1, Ae2,..., Aen. Пусть линейно независимы первые r векторы Ae1, Ae2,..., Aer. Тогда остальные n-r векторы выражаются линейно через эти векторы:

Aek=n cijAej,   (k=r+1,...n)
j=1
(8)

Зададим новый базис в пространстве R:

Тогда учитывая (8), имеем:

(9)

Далее выберем векторы в качестве векторов базиса в S:

fj'=Aej',    j=1,2,...,r (10)

Дополним эти векторы некоторыми векторами до базиса в S.

Тогда матрица оператора A в новых базисах , согласно (9) и (10) будет иметь следующий вид:

(11)

где в матрице E ' -на главной диагонали стоят r единиц, а остальные элементы равны нулю.

Так как матрицы A и E ' соответствуют одному и тому же оператору A, то они эквивалентны между собой. Выше мы показали, что эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг, следовательно ранг исходной матрицы A равен r.

Из вышеуказанного следует, что произвольная m×n матрица ранга r эквивалентна матрице E ' - порядка m×n. Но E ' - однозначно определяется заданием размерности m×n матрицы и его ранга r. Следовательно все прямоугольные матрицы порядка m×n и ранга r эквивалентны одной и той же матрице E ' и, следовательно, эквивалентны между собой.■