LU-разложение. LUP-разложение

LU-разложение матрицы A - это представление матрицы A в виде произведения

A=LU,

где L-нижняя треугольная матрица, U - верхняя треугольная или ступенчатая матрица.

Процедура LU - разложения

Пусть A прямоугольная матрица порядка m×n любого ранга. С правой стороны матрицы А приписываем единичную матрицу E порядка n×n. Применяем к матрице A|E метод исключения Гаусса. Если на каком то этапе Гауссово исключения ведущий элемент равен нулю, и существует ненулевой элемент, расположенный ниже ведущего элемента, то LU - разложение данной матрицы невозможно. Если же элементы ниже ведущего элемента нулевые, то выбираем новый ведущий элемент той же строки и следующего столбца.

Приводим матрицу A|E к треугольному или ступенчатому виду. Получим матрицу U|L0, где U- верхняя треугольная или ступенчатая матрица, а L0- нижняя треугольная матрица. Заметим, что полученная матрица L0 приводит A к треугольному или ступенчатому виду:

L0A=U.
(1)

Так как L0 квадратная невырожденная матрица, следовательно имеет обратную матрицу . Тогда

(2)

или

LU-разложение
(3)

где .

Как мы отметили, не всегда можно проводить LU -разложение матрицы. Но LUP- разложение всегда возможно.

LUP-разложение матрицы A - это представление матрицы A в виде произведения

PA=LU,

где L-нижняя треугольная матрица, U - верхняя треугольная или ступенчатая матрица, P- матрица перестановок (матрица перестановок - эта матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой некоторых строк или столбцов).

Процедура LUP - разложения

Пусть A прямоугольная матрица порядка m×n любого ранга. С правой стороны матрицы А приписываем единичную матрицу E порядка n×n. Применяем к матрице A|E матод исключения Гаусса c выбором наибольшего по модулю ведущего элемента. Если на каком то этапе исключения ведущий элемент равен нулю, то процедуру останавливаем. Получим матрицу U|L0. Тогда имеют место равенства (1) и (2). Но в общем случае L0 и, следовательно, не являются нижними треугольными матрицами, если при применении Гауссово исключения строки переставлялись.

Далее допустим, что мы знаем, как построить матрицу A1 из матрицы A переставляя строки так, что при применении Гауссово исключения c выбором максимального по модулю ведущего элемента относительно матрицы A1 не понадобилась переставление строк. Выбираем матрицу перестановок так, что

LU-разложение
(4)

Строим матрицу A1|E и применяем Гауссово исключение. Получим матрицу U|L1. Тогда

(5)

где L1 и нижние треугольные матрицы т.к. при применении Гауссово исключения строки матрицы A1 не переставлялись.

Из (4) и (5) имеем:

LU-разложение
(6)

Обозначим.

Наша задача найти L и U, без построения A1.

Из (2) и (4) имеем:

LU-разложение
(7)

Тогда, учитывая второе равенство (5), получим:

LU-разложение
(8)

Следовательно

LU-разложение
(9)

Получили, что для LUP-разложения нужно применить Гауссово исключение c выбором максимального по модулю ведущего элемента относительно матрицы A|E. Получим матрицу . Вычисляем обратную матрицу . Вычисляем L из выражения (9).

Матрица перестановок Р строится во время Гауссово исключения, учитывая перестановки строк.

Пример LU - разложения (A=LU)

LUP-разложение матрицыLUP-разложение матрицыLUP-разложение матрицыLUP-разложение матрицыLUP-разложение матрицыLUP-разложение матрицы

Пример LUP - разложения (PA=LU)

LUP-разложение матрицыLUP-разложение матрицыLUP-разложение матрицыLUP-разложение матрицыLUP-разложение матрицыLUP-разложение матрицыLUP-разложение матрицыLUP-разложение матрицыLUP-разложение матрицы

LU (LUP)-разложение онлайн

Для LU(LUP)-разложения онлайн пользуйтесь матричным онлайн калькулятором.