Число обусловленности матрицы

Число обусловленности матрицы показывает насколько матрица близка к матрице неполного ранга (для квадратных матриц - к вырожденности).

Рассмотрим систему линейных уравнений

Ax=b
(1)

Если матрица A вырожденная, то для некоторых b решение x не существует, а для других b оно будет неединственным. Следовательно, если A почти вырожденная, то можно ожидать, что малые изменения в A и b вызовут очень большие изменения в x. Если же взять в качестве A единичную матрицу, то решение системы (1) будет x=b. Следовательно, если A близка к единичной матрице, то малые изменения в A и b должны влеч за собой малые изменения в x.

Рассмотрим это на численном примере

(2)

   

Как видно из Рис. 1, векторы строки матрицы A - и линейно зависимы. Следовательно существует нуль-пространство N(A) ортогональное к и . Так как b∈R(A), имеем множество решений ,,,... . Если же взять , то b∉R(A) и, следовательно, система линейных уравнений не имеет решения. Далее, изменим в (2) вектор строку матрицы A. Пусть . Тогда система (2) имеет единственное решение . Получили, что малое изменение в A или b совешенно меняет решение системы (2). Такие матрицы называют плохо обусловленными.

Для оченки обусловленности матрицы вычисляют число обусловленности матрицы (обозначается символом "cond"). Для вычисления числа обусловленности введем понятия нормы для векторов x. В качестве нормы возмем l-норму вектора:

(3)

Умножая вектор х на матрицу A приводит к новому вектору Ax, норма которого может слишком отличаться от нормы вектора x. Эта чувствительность матрицы A мы хотим измерять. Максимальное и минимальное изменение Ax при изменении можно задать следующими числами:

(4)
(5)

Отношение Q/q называется числом обусловленности матрицы A:

(6)

В системе (1) изменим b на Δb. Тогда имеем:

(7)

Из (1) и (7) следует A·Δx=Δb. Тогда, учитывая (4) и (5) получим следующие неравенства:

(8)
(9)

Следовательно при q≠0 имеем:

(10)

или

обусловленность матрицы
(11)

При относительном изменении правой части , относительная ошибка может составить .

Если q=0, то cond(A)=+∞, т.е. матрица неполного ранга (вырожденная). Чем больше cond(A), тем ближе матрица A к неполному рангу (к вырожденности). Чем ближе матрица к единичной матрице, тем больше cond(A) близка к 1 и , следовательно, матрица далека от неполного ранга (далека от вырожденности).

Свойства числа обусловленности матрицы:

  1. cond(A)>=1 (т.к. Q>=q).
  2. cond(P)=1, где P-матрица перестановок или единичная матрица.
  3. cond(λA)=cond(A), где λ скаляр.
  4. обусловленность матрицы, где D диагональная матрица.

Свойства 3 и 4 показывают, что cond(A) является лучшей критерией оценки вырожденности квадратных матриц, чем определитель. Действительно, если взять в качестве матрицы A квадратную диагональную матрицу 100×100 с элементами 0.1 на главной диагонали, то det(A)=(0.1)100=10-100, что очень малое число и показывает близость к вырожденности в то время, как строки и столбцы матрицы ортогональны и, в действительности матрица далека от вырожденности. Если же применять cond, то получим cond(A)=1.

Следующий пример иллюстрирует понятие числа обусловленности матрицы. Рассмотрим систему линейных уравнений (1), где

(12)

Тогда решением системы линейных уравнений будет . Если же правую заменить на , решением системы будет . Обозначим Δb=b-b1 и Δx=x-x1. Тогда

(13)

Из (13) видно, что очень малое изменение в b, совершенно изменил решение x. Так как

(14)

имеем

(15)

Неравенство (15) показывает что матрица A плохо обусловлена, т.е. близка к вырожденности. С помощью экспериментальных вычислений мы обнаружили плохую обусловленность матрицы A. А как, на самом деле, вычислить число обусловленности матрицы. В выражении (4) Q называется нормой матрицы и ее можно вычислить с помощью следующего вырaжения:

,
(16)

где aj - j-ый столбец матрицы A. Оказывается, что 1/q является нормой обратной к A (если существует) матрицы A-1: . Тогда

.
(17)

Вы можете вычислить обусловленность матрицы используя матричный онлайн калькулятор. Для этого вычислите обратную к матрице A, вычислите нормы для матриц A и A-1 и, используя выражение (17), вычислите cond(A).