Матрицы. Виды матриц

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

матрица A

или aij (i=1,2,...m; j=1,2,...n).

Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j- номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

матрица строка

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

матрица столбец

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

нулевая матрица

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

квадратная матрица

Главный диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a11, a22 ,..., ann образуют главный диагональ матрицы. Например:

главный диагональ матрицы

В случае m×n -матриц элементы aii ( i=1,2,...,min(m,n)) также образуют главный диагональ. Например:

главный диагональ матрицы

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочный диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a1n, a2n-1 ,..., an1 образуют побочный диагональ матрицы. Например:

побочный диагональ матрицы

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

побочный диагональ матрицы

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E n, где n - порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

единичная матрицы

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица ||aij|| порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i>j . Например:

верхняя треугольная матрица

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица ||aij|| порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i<j. Например:

нижняя треугольная матрица

Cтроки матрицы A образуют пространство строк матрицы и обозначаются через R(AT).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x- вектор длины n - образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

 Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

 Кососимметрическая матрица

Кососимметрической называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

AT=−A.

В кососимметрической матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

 Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

C=A+(-1)B.

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

C=A-B.

 Степень матрицы

Пусть ||aij|| квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

A*A*A*...*A

A0=E,

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

A^p+A^q=A^(p+q)

где p,q- произвольные целые неотрицательные числа.

  Симметрическая матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=AT называется симметрической матрицей.

Для симметрических матриц ||aij|| имеет место равенство:

aij=aji ;   i=1,2,...n,   j=1,2,...n